ALGEBRAIK VA TRANSENDENT SONLAR HAQIDA

ALGEBRAIK VA TRANSENDENT SONLAR HAQIDA Norjigitov Husanboy1, Qo`ziboyev Baxromjon Nurillo oʻgʻli2 1 GDU dotsenti,2 GDU magistranti MAQOLA TARIXI ANNOTATSIYA Qabul qilindi: 20-Dekabr 2021 Ma’qullandi: 25-Dekabr 2021 Chop etildi: 30-Dekabr 2021 Shu ma’noda, ratsional koeffitsientli algebraik tenglama tushunchasi algebraik transsendental son tushunchasining umumlashmasidir, chunki “e” soni algebraik son emas.

KALIT SO’ZLAR tenglama, transsendental, algebraik, sonli, haqiqiy, ratsional, Germit integrali. Biz ratsional tenglama koeffitsientli a0xn+a1xn-1+…+an=0 algebraik (1)

Ta`rif 5. a0=1 b`lganda (1) tenglamaning ildizi butun algebraik son deyiladi.

a0≠0 , ai∈Q , i=0,1,2,…,n berilgan bo`lsin. Ta`rif 1. (1) tenglamaning har qanday ildizi algebraik son deyiladi. Ta`rif 2. Har qanday algebraik bo`lmagan son transendent son deyiladi. Ta`rif 3. Agar (1) tenglamaning chap qismini ikkita ratsional koeffitsientli ko`phadlar ko`paytmasi shaklida yozish mumkin bo`lmasa , u xolda (1) tenglama keltirilmaydigan tenglama deyiladi.

Ta`rif 4. Keltirilmaydigan tenglamani tartibi , uni qanoatlantiruvchi a-algebraik sonning tartibi deyiladi.

Ta`rif 6. Agar (1) tenglama keltirilmaydigan bo`lsa , uning irratsional ildizi , algebraik irratsionallik deyiladi (n≥2). Ushbu tadqiqotda transendentligini va irratsionalligi haqidagi qaraymiz .

e soninig algebraik masalalarni Sonning transendentligini isbotlashda , deyarli barcha hollarda algebraik sonning ratsional kasrga yaqinlashmasligini ko`rsatishdan foydalaniladi . Biz e sonining transendentligini boshqa usulda ,Ermit ko`phadlari yordamida isbotlashga urinib ko`ramiz. Umumiylikga zarar yetkazmasdan , (1) tenglamada ai∈Z , a0≠1 , i=0,1,…,n deb olish mumkin . Faraz qilaylik ai∈Z, a0≠1 , an≠0 , i=0,1,…,n da x=e (1) tenglamani qanoatlantirishi , ya`ni a0en+a1en-1+…+an1e+an=0 (2)

- e soni va uning darajalarini shu songa yaqin ratsional qiymati bilan almashtiramiz.

, 𝑒2 = 𝑀2 +𝜀2 , … , 𝑒𝑛 = 𝑀𝑛 +𝜀𝑛 Mk va 𝜀𝑘 (k=1,2,…,n) larni aniqlash uchun 0 < 𝑧 < +∞ oraliqni k ga bog`liq ravishda oraliqlarga bo`lib , Mk va 𝜀𝑘 (k=1,2,…,n) larni quyidagicha aniqlaymiz:

∞ 𝑧 𝑝−1 {(𝑧−1)(𝑧−2)…(𝑧−𝑛)}𝑝 𝑒 −𝑝 (3)

𝑀𝑘 = 𝑒 𝑘 ∫𝑘 bu yerda M,M1,M2,…,Mn – butun son , 𝜀1 𝜀2 𝜀 , , … , 𝑀𝑛 - yetarlicha kichik kasr son. 𝑀 𝑀 e va e ning darajalarini (2) ga qo`yib va har ikkala tarafini M ga ko`paytirib quyidagini hosil qilamiz . (a0Mn+a1Mn-1+…+an-1M1+anM)+ a0𝜀𝑛 +a1𝜀𝑛−1 +…+an-1𝜀1 )=0 (4)

(6)

Kabi tanlaymiz , bu yerda n-(1) tenglamaning darajasi , p-qandaydir tub son , biz uni keyinroq aniqlaymiz .

Buni isbotlashni quyidagi tartibda olib boramiz:

𝑀1 +𝜀1 𝑀= ∞ 𝑧 𝑝−1 {(𝑧−1)(𝑧−2)…(𝑧−𝑛)}𝑝 𝑒 −𝑧 ∫0 tenglik bajarilmasligini ko`rsatish lozim.

𝑒= yig`indini butun son ekanligi ravshan , uning nolga teng emasligini ko`rsatish uchun M1,M2,…,Mn solarning umumiy bo`luvchi p ( p-tub son ) bo`lsa , anM ning p ga bo`linmasligini ko`rsatish yetarli , chunki (5) yig`indi p ga bo`linmaydi , demak (5) yig`indi nol emas . Yuqoridagi mulohazani ko`rsatish uchun Ermit integrallaridan foydalanamiz . M sonini (6a) 𝑘 𝑧 𝑘−1 {(𝑧−1)(𝑧−2)…(𝑧−𝑛)}𝑝 𝑒 −𝑧 𝜀𝑘 = 𝑒 𝑘 ∫0 (6b)

( Matematik analiz kursidan , ma`lumki gamma – funksiyalar nazariyasiga ko`ra Г(𝜌) = ∫0 𝑧 𝜌−1 𝑒 −𝑧 𝑑𝑧 -(4) yig`indining birinchi qo`shiluvchisi no`ldan farqli butun son ekanligini ; da 𝜌 butun son bo`lsa , bo`lar edi .

-(4) yig`indining ikkinchi qo`shiluvchisi 𝜀1 , 𝜀2 , … , 𝜀𝑛 larning tanlanganligiga qarab yetarlicha kichik to`g`ri kasr ekanligini ko`rsatamiz , natijada (2) tenglik bajarilmasligi kelib chiqadi.

Ko`rinib turibdiki , 𝜌 – butun son bo`lsa , Г(𝜌) funksiyaning qiymati juda tez o`sadi. Ermit integrallarini gamma-funksiya orqali ifodalaymiz. Ermit integrali ostidagi funksiyaning suratini z ning darajasi kamayish tartibida yozamiz a0Mn+a1Mn-1+…+an1M1+anM (5)

Г(𝜌) = (𝜌 − 1)!

𝑓(𝑧) = {(𝑧 − 1)(𝑧 − 2) … (𝑧 − 𝑛)}𝑝 = {𝑧 𝑛 − ⋯ + (−1)𝑛 𝑛!}𝑝 = 𝑧 𝑛𝑝 − ⋯ + (−1)𝑛 (𝑛!)𝑝 u holda , (𝑘−1)!

= ∫ 𝑧 𝑝−1 ni xosil qilamiz . Bundan (𝑝−1)! - butun son 𝑓(𝑧)𝑒 −𝑧 (𝑝 − 1)!

bo`lib , p-son umumiy bo`luvchi bo`ladi. 𝑝!

Masalan , k=p+1 bo`lsa , (𝑝−1)! = 𝑝 , 𝑘 = (−1)𝑛 (𝑛!)𝑝 ∫ 𝑧 𝑝−1 𝑒 −𝑧 𝑑𝑧 (𝑝 − 1)!

𝑝 + 2 bo`lsa , (𝑝−1)! = 𝑝(𝑝 + 1) va h.k. U 𝑝+𝑝𝑛 holda (𝑝+1)!

𝐶𝑘 + ∑ ∫ 𝑧 𝑘−1 𝑒 −𝑧 𝑑𝑧 (𝑝 − 1)! 𝑘=𝑝+1 𝑀 = (−1)𝑛 (𝑛!)𝑝 + 𝑝{𝐶𝑝+1 + 𝐶𝑝+2 (𝑝 + 1)

bu yerda Ck – o`zgarmas butun son.

+ 𝐶𝑝+3 (𝑝 + 1)(𝑝 + 2) + ⋯ } p∈N va tub son ekanligidan , Г(𝜌) = (𝜌 − 1)! , unda 𝑝+𝑝𝑛 𝑀 = (−1)𝑛 (𝑛!)𝑝 + ∑ 𝐶𝑘 𝑘=𝑝+1 Kabi bo`ladi . Agar 𝑝 > 𝑛 bo`lsa , M soni p ga bo`linmaydi . Faramizga ko`ra 𝑎𝑛 ≠ 0 , unda 𝑝 > 𝑛 shunday tanlaymizki , an – p ga bo`linmaydi , shunday qilib , anM ham p ga bo`linmaydi .

(𝑘 − 1)! (𝑝 − 1)!

Endi Mk , k=1,…,n sonlarni tekshiramiz . (6a) formulalarda 𝛿 = 𝑧-k almashtirish qilamiz . u holda 𝑀𝑘 = ∫ (𝛿 + 𝑘)𝑝−1 {(𝛿 + 𝑘 − 1)(𝛿 + 𝑘 − 2) … (𝛿 + 𝑘 − 𝑛)}𝑒 −𝛿 𝑑𝛿 (𝑝 − 1)! yig`indida bu yerda ham M ni topish kabi , mulohazalar yuritib 𝑝!𝐴 𝑘 𝑀𝑘 = (𝑝−1)! = 𝑝𝐴𝑘 , k=1,…,n qilamiz , demak 𝑀𝑘 ⋮ 𝑝 larda.

ni hosil barcha k=1,…,n Shunday qilib (5) yig`indi p ga bo`linmaydigan butun son ekan , demak u nol soni emas . Endi (4) yig`indining ikkinchi qo`shiluvchisi bilan shug`ullanamiz.

𝑘 𝜀𝑘 = ∫ 𝑧 𝑝−1 {(𝑧 − 1) … (𝑧 − 𝑛)}𝑝 𝑒 −𝑧+𝑘 (𝑝 − 1)!

Kabi olamiz va 𝑝 > 𝑛 , 𝑝 > 𝑎𝑛 hisoblaymiz (k=1,…,n) va 𝜀𝑘 yuqoridan baholaymiz .

deb larni Faraz qilaylik , G va gk (k=1,…,n) sonlar mos ravishda z(z-1)(z-2)…(z-n) va (z-1)(z-2)…(z-n)e-z+k funksiyalar uchun (0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑛 bo`lgan holda ) yuqoridan baho bo`lsin , ya`ni 𝑧 ∈ [0; 𝑛] bo`lganda a0𝜀𝑛 +a1𝜀𝑛−1 +…+an-1𝜀1 (8)

|𝑧(𝑧 − 1) … (𝑧 − 𝑛)| ≤ 𝐺 { |(𝑧 − 1)(𝑧 − 2) … (𝑧 − 𝑛)𝑒 −𝑧+𝑘 | ≤ 𝑔𝑘 (|𝑎0 |𝑛𝑔𝑛 + |𝑎1 |(𝑛 − 1)𝑔𝑛−1 + ⋯ + |𝑎𝑛−1 |𝑔1 )

bo`lsin . U xolda 𝑘 𝐺 𝑝−1 𝑔𝑘 𝐺 𝑝−1 𝑔𝑘 𝑘 |𝜀𝑘 | ≤ ∫0 (9)

|𝑎0 𝜀𝑛 + 𝑎1 𝜀𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝜀1 | ≤ |𝑎0 | ∙ |𝜀𝑛 | + |𝑎1 | ∙ |𝜀𝑛−1 | + ⋯ + |𝑎𝑛−1 | ∙ |𝜀1 | ≤ p ning yetarlicha katta qiymatlarida 𝐴(𝑛)𝐺 𝑝−1 ni xoxlagancha kichik , hattoki , 1 G , gk va p ga bog`liq bo`lmaganligi sababli p ning yetarlicha katta qiymatlarida 𝜀𝑘 larni yetarlicha kichik qilish mumkin . (8) va (9) tengsizliklarga ko`ra (8) ni yuqoridan baholaymiz.

𝐺 𝑝−1 𝐺 𝑝−1 ≤ 𝐴(𝑛) ∙ dan kichik qilish mumkin . Shunday qilib , (4) tenglikning birinchi qo`shiluvchi 0 dan farqli butun son , ikkinchi qo`shiluvchisi 1 dan kichik kasr son qilib p ni tanlash mumkin emas . U xolda (4) tenglikning bajarilishi mumkin emas . Demak , e soni algebraik son emas .

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 1. А.О.Гельфонд Трансцендентные и алгебраические числа. ГИТТЛ, М.,1952. 2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л. 2007.